Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan
Bulat Positif
Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas
akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x
2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x
2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m
> n
55 : 53 = (5 x 5 x
5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2
x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 :
3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6
x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan
Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b
bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan
bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat,
caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan
bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(1/2)5
Jawab :
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/bdengan a, b
bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan
bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah
bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b
bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung
dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang
berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan
irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya,
contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu
disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan
Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat
bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi
Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut
bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama
dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar
kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n (dibaca:
a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut
bentuk pangkat pecahan.
Contoh :
Jawab :
Operasi
Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki
suku-suku yang sejenis.
Kesimpulan :
Jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
Jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu
masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi
perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada
bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi
campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan
operasi hitung berikut.
Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah
bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
§ Jika tidak ada tanda kurungnya maka
1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal
dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang,
artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh :
Merasionalkan Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan
dengan penyebut bentuk akar, misalnya 
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus
dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut
suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan
berturut-turut adalah 
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan
irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah
bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara
mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
Jawab :
Penyebut berbentuk (a+√b)
atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b)
atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b)
adalah dan sebaliknya.
Bukti:
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
Jawab :
Penyebut berbentuk (√b+√d)
atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan
pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab : 
